Podciąg i WKW zbieżności ciągu

Rys. 1 przedstawia wykres ciągu o dziedzinie \( \mathbb{N} \) (niebieski), z którego zostały wybrane tylko pewne wyrazy (poprawione na czerwono). Indeksy tych wyrazów zostały zaznaczone na osi odciętych (zielone) i są to pewne liczby naturalne tworzące ciąg liczb naturalnych \( (n_k) \).

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna podciągu

Komentarz
Nieskończenie wiele, ale nie wszystkie, wyrazy starego ciągu \( (a_n) \) tworzą więc nowy ciąg \( (a_{n_k}) \) indeksowany liczbami \( n_k \), które zachowują porządek liczb naturalnych, tzn. jeżeli \( k < l \), to \( n_k < n_l \). Czyli na bazie ciągu starego powstaje nowy ciąg nieskończony, którego dziedzina jest podzbiorem zbioru \( \mathbb{N} \). Taki nowy ciąg nazywamy podciągiem ciągu starego. Oczywiste jest, że mamy nieskończenie wiele możliwości utworzenia z ciągu bazowego różnych jego podciągów np. poprzez odrzucenie pewnej skończonej liczby wyrazów ciągu, poprzez wybranie wyrazów o indeksach będących wielokrotnością pewnej liczby naturalnej itp.

Definicja 1: Podciąg

Nieskończonym podciągiem ciągu \( a_n={\textbf a}(n), n\in \mathbb{N} \) nazywamy funkcję \( {\textbf a}\colon A\to \mathbb{R} \), gdzie \( A\subset \mathbb{N} \) i zbiór \( A \) jest nieskończony.

Uwaga 1: Oznaczenie nieskończonego podciąg ciągu

Nieskończony podciąg ciągu \( (a_n) \) oznaczamy przez \( (a_{n_k}) \), gdzie \( a_{n_k}={\textbf a}(n_k) \) i dla każdego \( k\in \mathbb{N} \) zachodzą warunki \( n_k\in A \) oraz \( n_1 < n_2 < \cdots \)

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna granicy podciągu

Rys. 2 przedstawia ciąg zbieżny do granicy \( 3 \) (niebieski) i wybrany z niego podciąg (czerwony). Z definicji granicy wiemy, że dla dowolnego \( \epsilon >0 \) prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale \( (3-\epsilon,3+\epsilon) \), a ponieważ wyrazy podciągu są jednocześnie wyrazami naszego ciągu, prawie wszystkie wyrazy podciągu też leżą w tym przedziale. Czyli możemy wnioskować, że dla ciągu zbieżnego, wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, co wyjściowy ciąg. Rozumowanie to działa też w drugą stronę, gdyż przy założeniu, że wszystkie podciągi badanego ciągu są zbieżne do tej samej granicy, a jednym z podciągów jest np. wyjściowy ciąg bez kilku początkowych wyrazów, więc wyjściowy ciąg też jest zbieżny do tej samej granicy, gdyż skończona liczba początkowych wyrazów nie ma wpływu na zbieżność ciągu.

Twierdzenie 1: Warunek konieczny i wystarczający (WKW) zbieżności ciągu

Ciąg \( (a_n) \) ma granicę właściwą \( a \) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy nieskończony podciąg \( (a_{n_k}) \) ciągu \( (a_n) \) ma granicę \( a \).

Uwaga 2:

Warunek konieczny i wystarczający działa w dwie strony, tzn. jeżeli ciąg \( (a_n) \) jest zbieżny do granicy \( a \), to każdy nieskończony podciąg \( (a_{n_k}) \) ciągu \( (a_n) \) jest zbieżny do tej samej granicy \( a \) i na odwrót jeżeli każdy nieskończony podciąg \( (a_{n_k}) \) ciągu \( (a_n) \) jest zbieżny do tej samej granicy \( a \), to ciąg \( (a_n) \) tez jest zbieżny do granicy \( a \).

Od razu widać mankamenty, ale też zalety tego twierdzenia. Wprawdzie wykazanie za pomocą WKW, że jakiś ciąg jest zbieżny, jest dość trudne, bo musielibyśmy znaleźć wszystkie możliwe podciągi naszego ciągu i pokazać, że mają takie same granice, ale wykazanie, że ciąg jest rozbieżny jest za to bardzo proste. Wystarczy znaleźć jakiekolwiek dwa podciągi, które mają różne granice i wtedy na podstawie WKW wiadomo, że ciąg nie jest zbieżny.

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność ciągu \( a_n=\sin{\frac{n\pi}{2}} \)

Rozwiązanie:
Rozważmy dwa różne podciągi ciągu \( (a_n) \)
dla \( n_k=2k \) mamy \( a_{n_k}=\sin{\frac{2k\pi}{2}}=\sin{k\pi}=0 \), czyli \( \lim_{k\to \infty}{a_{2k}}=\lim_{k\to \infty}{0}=0 \)
dla \( n_k=4k+1 \) mamy \( a_{n_k}=\sin{\frac{4k\pi +\pi}{2}}=\sin{\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)}=1 \), czyli \( \lim_{k\to \infty}{a_{4k+1}}=1 \)

Zatem znaleźliśmy dwa podciągi ciągu \( (a_n) \), które maja różne granice, czyli ciąg \( (a_n) \) jest rozbieżny (nie ma granicy).

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność ciągu \( b_n=\tan{\frac{n\pi}{3}} \)

Rozwiązanie:
Rozważmy różne podciągi ciągu \( (b_n) \)
\( b_{3k}=\tan{\frac{3k\pi}{3}}=\tan{k\pi}=0 \), czyli \( \lim_{k\to \infty}{b_{3k}}=0 \)
\( b_{3k-2}=\tan{\frac{(3k-2)\pi}{3}}=\tan{\left(k\pi-\frac{2\pi}{3}\right)}=\tan{\left(-\frac{2\pi}{3}\right)}=\tan{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3} \), czyli \( \lim_{k\to \infty}{b_{3k-2}}=\sqrt{3} \)
\( b_{3k-1}=\tan{\frac{(3k-1)\pi}{3}}=\tan{\left(k\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=\tan{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3} \), czyli \( \lim_{k\to \infty}{b_{3k-1}}=-\sqrt{3} \)

Znaleźliśmy trzy podciągi ciągu \( (b_n) \), które mają różne granice, a zatem ciąg \( (b_n) \) jest rozbieżny.

Przykład 3:

Zbadaj zbieżność ciągu \( c_n=\sqrt[n]{2^{n\cos{(n\pi)}}+3^{2n(-1)^{n+1}}} \)

Rozwiązanie:
Rozważymy dwa różne podciągi ciągu \( (c_n) \)
\( c_{2k}=\sqrt[2k]{2^{2k}+3^{-2\cdot 2k}}=\sqrt[2k]{2^{2k}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2k}} \)
granicę ciągu \( (c_{2k}) \) obliczymy korzystając z twierdzenia o trzech ciągach
\( 2=\sqrt[2k]{2^{2k}}\leq \sqrt[2k]{2^{2k}+\left(\frac{1}{9}\right)^{2k}}\leq \sqrt[2k]{2^{2k}+2^{2k}}=2\sqrt[2k]{2}\stackrel{k\to \infty}{\longrightarrow}2 \)
czyli \( \lim_{k\to \infty}{c_{2k}}=2 \)
\( c_{2k-1}=\sqrt[2k-1]{2^{(2k-1)\cdot (-1)}+3^{2\cdot (2k-1)}}=\sqrt[2k-1]{\left(\frac{1}{2}\right)^{2k-1}+9^{2k-1}} \)
granice ciągu \( (c_{2k-1}) \) obliczymy korzystając z twierdzenia o trzech ciągach
\( 9=\sqrt[2k-1]{9^{2k-1}}\leq \sqrt[2k-1]{\left(\frac{1}{2}\right)^{2k-1}+9^{2k-1}}\leq \sqrt[2k-1]{9^{2k-1}+9^{2k-1}}=9\sqrt[2k-1]{2}\stackrel{k\to \infty}{\longrightarrow}9 \)
czyli \( \lim_{k\to \infty}{c_{2k-1}}=9 \)

Zatem znaleźliśmy dwa podciągi ciągu \( (c_n) \), które mają różne granice, czyli ciąg \( (c_n) \) jest rozbieżny.

Wniosek 1:

Jeżeli \( \lim_{n\to \infty}{a_n}=\pm \infty \) i ciągi \( \sin{a_n},\cos{a_n},\tan{a_n},\cot{a_n} \) nie są ciągami stałymi, to nie istnieją granice tych ciągów.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka